Question

11．已知数列{a_n}满足a₁a₂…a_n=n+1，则a₃=$\frac{4}{3}$；若数列{b_n}满足b_n=$\frac{{a}_{n}}{（n+1）^{2}}$，S_n为数列{b_n}的前n项和，则S_n=$\frac{n}{n+1}$．

Answer 1

分析 求得a₁=2，运用当n＞1时，a_n=$\frac{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n-1}}$，可得a₃；a_n，求得b_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，运用数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和．

解答 解：由a₁a₂…a_n=n+1，可得：
a₁=2，a₁a₂=3，可得a₂=$\frac{3}{2}$，
a₁a₂a₃=4，可得a₃=$\frac{4}{3}$；
当n＞1时，a_n=$\frac{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n-1}}$=$\frac{n+1}{n}$，
上式对n=1也成立；
则b_n=$\frac{{a}_{n}}{（n+1）^{2}}$=$\frac{n+1}{n（n+1）^{2}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
可得S_n=b₁+b₂+…+b_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
故答案为：$\frac{4}{3}$，$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查数列的通项和求和，考查裂项相消求和法，以及化简整理的运算能力，属于中档题．