Question

已知各项均为正数的数列a_n满足

an+1

an

-

2an

an+1

=1（n∈N^*），且a₁+a₂+a₃=a₄-2．
（Ⅰ）求数列a_n的通项公式；
（Ⅱ）证明：7•4ⁿ⁺¹＞3n+1（n∈N^*）
（Ⅲ）若n∈N^*，令b_n=a_n²，设数列b_n的前n项和为T_n（n∈N^*），试比较

Tn+1+12

4Tn

与

4n+6

4n-1

的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先整理

an+1

an

-

2an

an+1

=1得2a_n=a_n+1，进而得数列{a_n}公比为2的等比数列；再借助于a₁+a₂+a₃=a₄-2求出首项
即可求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）先推得n=1时不等式成立，再假设当n=k时，不等式7•4^k+1＞3k+1成立，借助于放缩法即可证明n=k+1时不等式成立，即可证得结论；
（Ⅲ）把（Ⅰ）的结论代入整理可得数列{b_n}是首项为4，公比是4的等比数列，即可求出T_n（n∈N*），再对

Tn+1+12

4Tn

与

4n+6

4n-1

作差整理即可得出结论．

解答：解：（Ⅰ）∵

an+1

an

-

2an

an+1

=1，
a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，即（a_n+1+a_n）（2a_n-a_n+1）=0
又a_n＞0，所以有2a_n-a_n+1=0，
∴2a_n=a_n+1所以数列{a_n}为公比为2的等比数列
由a₁+a₂+a₃=a₄-2得a₁+2a₁+4a₁=8a₁-2，解得a₁=2
故数列{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ（n∈N*）
（Ⅱ）①当n=1时，7•4⁰=7＞3×1+1=4，上面不等式显然成立
②假设当n=k时，不等式7•4^k+1＞3k+1成立
当n=k+1时，
7×4^k=4×7×4^k-1＞4（3k+1）=12k+4＞3k+4=3（k+1）+1
综上①②对任意的n∈N*均有7•4ⁿ⁺¹＞3n+1
（Ⅲ）因b_n=a_n²=2²ⁿ=4ⁿ，所以b1=4，

bn+1

bn

=4
即数列{b_n}是首项为4，公比是4的等比数列
所以Tn=

4

3

(4n-1)，

Tn+1+12

4Tn

=

4n+1+8

4(4n-1)

=1+

3

4n-1

又

4n+6

4n-1

=1+

7

4n-1

∴

Tn+1+12

4Tn

-

4n+6

4n-1

=

3

4n-1

-

7

4n-1

=

4(3n+1-7•4n+1)

(4n-1)(4n-1)

＜0
所以对任意的n∈N*均有

Tn+1+12

4Tn

＜

4n+6

4n-1

点评：本题主要考查数列递推关系式的应用以及数列与不等式的综合问题．本题的第二问涉及到了数学归纳法的证明，应注意其证明过程．