Question

16．等差数列{a_n}中，S_n为其前n项和，已知a₃+a₆=16，S₉-S₄=65．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设${b_n}={2^{a_n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n的表达式．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，a₃+a₆=16，S₉-S₄=65．可得2a₁+7d=16，又$\frac{9（{a}_{1}+{a}_{9}）}{2}$-$\frac{4（{a}_{1}+{a}_{4}）}{2}$=65，化简即可得出．
（2）利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₃+a₆=16，S₉-S₄=65．
∴2a₁+7d=16，又$\frac{9（{a}_{1}+{a}_{9}）}{2}$-$\frac{4（{a}_{1}+{a}_{4}）}{2}$=65，即9a₅-2a₁-2a₄=65，化为：a₁+6d=13，
解得a₁=1，d=2．∴a_n=2n-1．
（2）∵${b_n}={2^{a_n}}={2^{2n-1}}$，
∴T_n=2+2³+…+2^2n-1=$\frac{2}{3}（{4^n}-1）=\frac{{{2^{2n+1}}}}{3}-\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．