Question

已知f（x）=ax³+3x²-x+1，a∈R．
（Ⅰ）当a=时，求函数f（x）的极大值；
（Ⅱ）若对?x∈R不等式f′（x）≤4x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）当a=时，f（x）=x³+3x²-x+1，
∵f′（x）=7x²+6x-1=（7x-1）（x+1），
令f′（x）=0，得x₁=，x₂=-1，
且当x∈（-∞，-1）时，f′（x）＞0，当x∈（-1，）时，f′（x）＜0，
所以当x=-1时，f（x）有极大值，且f（-1）=．
（Ⅱ）∵?x∈R不等式f′（x）≤4x恒成立，
即?x∈R不等式3ax²+6x-1≤4x恒成立，
∴?x∈R不等式3ax²+2x-1≤0恒成立，
当a≥0时，?x∈R，3ax²+2x-1≤0不恒成立，
当a＜0时，?x∈R不等式3ax²+2x-1≤0恒成立，
即△=4+12a≤0，解得．
分析：（Ⅰ）把a=代入函数解析式中确定出f（x）的解析式，求出f（x）的导函数，确定函数的单调性，即可求函数f（x）的极大值；
（Ⅱ）求出f（x）的导函数，把求出的导函数代入到已知的不等式中，移项使不等式的右边为0，左边为一个二次函数，讨论a，即可得到实数a的取值范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查恒成立问题，正确求导数，合理分类是关键．