Question

若数列满足且（其中为常数），是数列的前项和，数列满足.
（1）求的值；
（2）试判断是否为等差数列，并说明理由；
（3）求（用表示）.

Answer 1

（1）;（2）当时，数列为等差数列；当时，数列不为等差数列;（3）

试题分析：（1）根据题意取时，即得，可求出 ；（2）由题中所给条件： ，结合题中目标不难得到：，两式相加后得： ，即，再替换一下即可得：，联想与等差数列列的定义可得：，再单独考虑一下前三项即：当且仅当，，为等差数列，数列为等差数列，可求得，即可得出结论；（3）由题中所给条件，可替换得，进一步可化简得： ，即，这样就可求出： ，即可得： ；而再由（2）中所求，又因为，则可得， ，由，这样就可求出另外三种情形： ，，，即问题可求解．
（1）由题意，得，.                   4分
（2），，
，即，，
，于是当且仅当，，为等差数列，数列为等差数列，       7分
又，， ，，
，，，由，，为等差数列，得，
当时，数列为等差数列；当时，数列不为等差数列.            10分
（3），，
，即，
，
，，
.                          13分
由（2），，， ，
由，，，
又，，,
，，，
                    16分