Question

（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，
第3小题满分8分．
如果数列同时满足：（1）各项均为正数，（2）存在常数k, 对任意都成立，那么，这样的数列我们称之为“类等比数列” .由此各项均为正数的等比数列必定是“类等比数列” .问：
（1）若数列为“类等比数列”，且k＝(a₂－a₁)²，求证：a₁、a₂、a₃成等差数列；
（2）若数列为“类等比数列”，且k＝， a₂、a₄、a₅成等差数列，求的值；
（3）若数列为“类等比数列”，且a₁＝a，a₂＝b(a、b为常数)，是否存在常数λ，使得对任意都成立？若存在，求出λ；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）详见解析，（2）或，（3）

试题分析：（1）解决新定义问题，关键根据“定义”列条件，当时，在中，令得即因为所以即故成等差数列，（2）根据“定义”，将所求数列转化为等比数列.当时，，因为数列的各项均为正数，所以数列是等比数列，设公比为因为成等差数列，所以即因为所以 ，,解得或(舍去负值)．所以或,（3）存在性问题，通常从假设存在出发，列等量关系，将是否存在转化为对应方程是否有解. 先从必要条件入手，再从充分性上证明：因为所以所以即得所以
而
试题解析：[解] (1)当时，在中，令得
即            2分
因为所以即
故成等差数列                           4分
(2)当时，，因为数列的各项均为正数
所以数列是等比数列                        6分
设公比为因为成等差数列，所以
即因为
所以 ，            8分
解得或(舍去负值)．所以或 10分
(3)存在常数使（仅给出结论2分）
（或从必要条件入手）
证明如下：因为所以
所以即     12分
由于此等式两边同除以得    14分
所以
即当都有                16分
因为所以
所以
所以对任意都有
此时                          18分