Question

11．若以O为极点，x轴正半轴为极轴，曲线C₁的极坐标方程为：ρ²-4ρcosθ-4ρsinθ+6=0上的点到曲线C₂的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-\sqrt{2}t}\\{y=3+\sqrt{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）的距离的最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 把曲线C₁、C₂的方程化为普通方程，利用圆心C到直线C₂的距离d求出圆C₁上的点到直线C₂的距离最小值．

解答 解：把ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y代入ρ²-4ρcosθ-4ρsinθ+6=0中，
得x²+y²-4x-4y+6=0，
配方得（x-2）²+（y-2）²=2，
∴曲线C₁是以C（2，2）为圆心，r=$\sqrt{2}$为半径的圆；
又$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-\sqrt{2}t}\\{y=3+\sqrt{2}t}\end{array}\right.$，消去参数t，
∴直线C₂的普通方程为x+y-1=0，
∴圆心C到直线C₂的距离d=$\frac{|2+2-1|}{\sqrt{{1}^{2}{+1}^{2}}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
如图所示，
∴圆C₁上的点到直线C₂的距离最小值为：
d-r=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了直线与圆的应用问题，也考查了参数方程与极坐标的应用问题，考查了数形结合的应用问题，是基础题目．