Question

已知函数f（x）=（ax+1）e^x．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）在区间[2，0]上的最小值．

Answer 1

解：定义域为R，f′（x）=（ax+1）′e^x+（ax+1）（e^x）′=e^x（ax+a+1），
（Ⅰ）①当a=0时，f′（x）=e^x＞0，则f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）；
②当a＞0时，解f′（x）＞0得，，解f′（x）＜0得，，
则f（x）的单调增区间为，f（x）的单调减区间为；
③当a＜0时，解f′（x）＞0得，，解f′（x）＜0得，，
则f（x）的单调增区间为，f（x）的单调减区间为；
（Ⅱ）①当时，即当a＞1时，f（x）在上是减函数，在上是增函数，
则函数f（x）在区间[-2，0]上的最小值为 ；
②当时，即当0＜a≤1时，f（x）在[-2，0]上是增函数，
则函数f（x）在区间[-2，0]上的最小值为，
综上：当a＞1时，f（x）在区间[-2，0]上最小值为，当0＜a≤1时，f（x）在区间[-2，0]上最小值为．
分析：（I）求导数f′（x），在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，分a=0，a＞0，a＜0三种情况进行讨论即可解得，由导数与函数单调性关系即得单调区间；
（Ⅱ）根据（I）中a＞0时函数的单调性进行讨论：按极值点x=在区间[-2，0]左侧、区间内两种情况讨论，由单调性即可得到最小值；
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、函数在闭区间上的最值，考查分类讨论思想，属中档题．