Question

下列命题：
（1）在△ABC中，“A＜B”是“sinA＜sinB”的必要而非充分条件；
（2）函数f（x）=|sinx-cosx|的最小正周期是π；
（3）在△ABC中，若AB=2

2

，AC=2

3

，B=

π

3

，则△ABC为钝角三角形；
（4）要得到函数y=sin（

x

2

-

π

4

）的图象，只需将y=sin

x

2

的图象向右平移

π

4

个单位．
其中真命题的序号是

（2）

．

Answer 1

分析：（1）分A、B均为锐角和一锐角一钝角由A＜B推出sinA＜sinB，再由sinA＜sinB，移向后利用三角函数的和差化积公式，结合角的范围推出A＜B；
（2）把给出的函数绝对值内的部分化积，求得周期为2π，加绝对值后图象在x轴下方的部分进行了反折，使函数周期变为原来的一半；
（3）在三角形中运用正弦定理，结合大边对大角求出角C，从而求出角A，可以得到三角形的形状；
（4）把给出的函数式y=sin（

x

2

-

π

4

）变形为y=sin

1

2

(x-

π

2

)，由变量x的变化可以得到答案．

解答：解：（1）在△ABC中，若A，B均为锐角，由A＜B⇒sinA＜sinB．若A为锐角，B为钝角，因为A+B＜π，
所以A＜π-B＜

π

2

，所以sinA＜sin（π-B）=sinB．反之，在△ABC中，若sinA＜sinB，则sinA-sinB＜0，
即sin

A-B

2

cos

A+B

2

＜0，因为0＜A＜π，0＜B＜π，0＜A+B＜π，所以-

π

2

＜

A-B

2

＜

π

2

，0＜

A+B

2

＜

π

2

，
所以cos

A+B

2

＞0，则sin

A-B

2

＜0，所以A-B＜0，即A＜B．
所以，在△ABC中，“A＜B”是“sinA＜sinB”的充要条件．所以，（1）不正确；
（2）由f（x）=|sinx-cosx|=|sin(x-

π

4

)|，因为函数y=sin(x-

π

4

)的周期为2π，所以，函数f（x）=|sinx-cosx|的最小正周期是π．所以（2）正确；
（3）在△ABC中，由

AC

sinB

=

AB

sinC

，因为AB=2

2

，AC=2

3

，B=

π

3

，所以

2 3

sin π 3

=

2 2

sinC

，
解得：sinC=

2

2

，由三角形中大边对大角知C=

π

4

．所以A=π-(

π

3

+

π

4

)=

5π

12

．
所以△ABC为锐角三角形．所以（3）不正确；
（4）函数y=sin（

x

2

-

π

4

）=sin

1

2

(x-

π

2

)，所以，要得到函数y=sin（

x

2

-

π

4

）的图象，只需将y=sin

x

2

的图象向右平移

π

2

个单位．所以，（4）不正确．
故真命题的序号是（2）．
故答案为（2）．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，结合三角函数广泛考查了充要条件、函数的周期、函数图象的平移及解三角形问题，本题中的四个命题在判断时各有易错点，命题（1）由A＜B推sinA＜sinB时学生不易想到讨论，命题（2）往往忽略绝对值对周期的影响，命题（3）中大边对大角是关键，命题（4）是看变量x的变化，此题属中档以上题．