Question

（2013•青浦区一模）正六边形A₁B₁C₁D₁E₁F₁的边长为1，它的6条对角线又围成了一个正六边形A₂B₂C₂D₂E₂F₂，如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是

9 3

4

．

Answer 1

分析：由平面几何的知识可得F₂A₂=

3

3

，即正六边形AA₂B₂C₂D₂E₂F₂，与正六边形A₁B₁C₁D₁E₁F₁的相似比等于

3

3

，可得面积之比为(

3

3

)2=

1

3

，故正六边形的面积构成以

3 3

2

为首项，

1

3

为公比的等比数列，代入求和公式可得．

解答：解：由已知条件可得∠A₁F₁A₂=A₂A₁F₁=30°，∠A₁A₂F₁=120°，
所以△A₁A₂F₁是等腰三角形，可得A₁A₂=

3

3

，
同理在△F₁F₂E₁中可得F₂E₁=

3

3

，
故F₂A₁=A₁E₁-A₁A₂-F₂E₁=

3

3

，
即正六边形AA₂B₂C₂D₂E₂F₂，与正六边形A₁B₁C₁D₁E₁F₁的相似比等于

3

3

，
故面积之比为(

3

3

)2=

1

3

，
可正六边形A₁B₁C₁D₁E₁F₁的面积S₁=6×

1

2

×1×1×

3

2

=

3 3

2

，
如此继续下去，正六边形的面积构成以

3 3

2

为首项，

1

3

为公比的等比数列，
故所有这些六边形的面积和S=

3 3 2

1- 1 3

=

9 3

4

故答案为：

9 3

4

点评：本题考查无穷递缩等比数列的所有项和的求解，涉及平面多边形的面积的求解，属基础题．