Question

已知各项均为正数的数列{a_n}，满足：a₁=3，且

2an+1-an

2an-an+1

=anan+1，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设S_n=a₁²+a₂²+…+a_n²，Tn=

1

a 2 1

+

1

a 2 2

+…+a

1

a 2 n

，求S_n+T_n，并确定最小正整数n，使S_n+T_n为整数．

Answer 1

分析：（1）由题意知an+1-

1

an+1

=2(an-

1

an

)，所以an-

1

an

=

8

3

×2n-1=

2n+2

3

(n∈N*)，由此可知数列{a_n}的通项公式；
（2）由题设条件知S_n+T_n=(a1-

1

a1

)2+(a2-

1

a2

)2+…+(an-

1

an

)2+2n=

64

27

(4n-1)+2n(n∈N*)，为使S_n+T_n=

64

27

(4n-1)+2n(n∈N*)为整数，当且仅当

4n-1

27

为整数．由此可确定最小正整数n，使S_n+T_n为整数．

解答：解：（1）条件可化为an+1-

1

an+1

=2(an-

1

an

)，
因此{an-

1

an

}为一个等比数列，其公比为2，首项为a1-

1

a1

=

8

3

，
所以an-

1

an

=

8

3

×2n-1=

2n+2

3

(n∈N*)…①
因a_n＞0，由①式解出a_n=

1

3

(2n+1+

22n+2+9

)…②
（2）由①式有S_n+T_n=(a1-

1

a1

)2+(a2-

1

a2

)2+…+(an-

1

an

)2+2n
=(

23

3

)2+(

24

3

)2+(

25

3

)2+…+(

2n+2

3

)2+2n
=

64

27

(4n-1)+2n(n∈N*)
为使S_n+T_n=

64

27

(4n-1)+2n(n∈N*)为整数，
当且仅当

4n-1

27

为整数．
当n=1，2时，显然S_n+T_n不为整数，
当n³3时，4ⁿ-1=（1+3）ⁿ-1=C_n¹×3+C_n²×3²+3³（C_n³+…+3^n-3C_nⁿ）
∴只需

3 C 1 n +32 C 2 n

27

=

n

9

•

3n-1

2

为整数，
因为3n-1与3互质，
所以为9的整数倍．
当n=9时，

n

9

•

3n-1

2

=13为整数，
故n的最小值为9．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设条件中的隐含条件，仔细求解．