Question

设a，b，c都是正数，求证：

（1）≥a+b+c；

（2）a+b+c≤；

（3）aⁿ(a²-bc)+bⁿ(b²-ac)+cⁿ(c²-ab)≥0（n是任意正数）.

Answer 1

思路分析：证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等.当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法,后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法.

证明：由题设不妨设a≥b≥c＞0.

（1）由不等式的单调性知ab≥ac≥bc，≥≥，由排序原理：

ab×+ac×+bc×≥ab×+ac×+bc×，即所证不等式成立.

（2）由不等式单调性知a²≥b²≥c²，ab≥ac≥bc，又由排序原理：

a²bc+ab²c+abc²≤a³c+b³a+c³b.

又由不等式单调性知a³≥b³≥c³，且a≥b≥c，再由排序原理：

a³c+b³a+c³b≤a⁴+b⁴+c⁴.

由上述两式及不等式的传递性可得a²bc+ab²c+abc²≤a⁴+b⁴+c⁴.两边同除以abc可得，需证不等式成立.

（3）只需证aⁿ⁺²+bⁿ⁺²+cⁿ⁺²≥aⁿbc+bⁿca+cⁿab.①

由不等式的单调性知aⁿ⁺¹≥bⁿ⁺¹≥cⁿ⁺¹，又a≥b≥c.由排序原理得

aⁿ⁺²+bⁿ⁺²+cⁿ⁺²≥aⁿ⁺¹b+b^n+1c+cn+1a.

又由不等式的单调性知ab≥ac≥bc，aⁿ≥bⁿ≥cⁿ.由排序原理得

aⁿ⁺¹b+b^{n+1c+cn+1a≥an}bc+bⁿca+cⁿab.

根据不等式的传递性可知①成立.