Question

12．如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁与侧面CBB₁C₁都是菱形，∠ACC₁=∠CC₁B₁=60°，AC=2．
（1）求证：AB₁⊥CC₁；
（2）若$A{B_1}=\sqrt{6}$，求二面角C-AB₁-A₁的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连接AC₁，CB₁，取CC₁的中点O，则CC₁⊥OA，CC₁⊥OB₁，从而CC₁⊥平面OAB₁．由此能证明CC₁⊥AB₁．
（2）以O为原点，以OB₁，OC₁，OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C-AB₁-A₁的正弦值．

解答 证明：（1）连接AC₁，CB₁，则△ACC₁和△BCC₁皆为正三角形．
取CC₁的中点O，连接OA，OB₁，则CC₁⊥OA，CC₁⊥OB₁，
又OA∩OB₁=O，所以CC₁⊥平面OAB₁．
又AB₁?平面OAB₁，所以CC₁⊥AB₁．（4分）
解：（2）由（1）知，$OA=O{B_1}=\sqrt{3}$，又$A{B_1}=\sqrt{6}$，所以OA⊥OB₁．
如图所示，以O为原点，以OB₁，OC₁，OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则$C（0，-1，0），{B_1}（\sqrt{3}，0，0），A（0，0，\sqrt{3}），{A_1}（0，2，\sqrt{3}）$，（6分）
设平面CAB₁的一个法向量为$\overrightarrow m=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，
因为$\overrightarrow{A{B_1}}=（\sqrt{3}，0，-\sqrt{3}），\overrightarrow{AC}=（0，-1，-\sqrt{3}）$，
所以$\left\{{\begin{array}{l}{\sqrt{3}{x_1}+0×{y_1}-\sqrt{3}{z_1}=0}\\{0×{x_1}-{y_1}-\sqrt{3}{z_1}=0}\end{array}}\right.$取$\overrightarrow m=（1，-\sqrt{3}，1）$．（8分）
设平面A₁AB₁的一个法向量为$\overrightarrow n=（{x_2}，{y_2}，{z_2}）$，
因为$\overrightarrow{A{B_1}}=（\sqrt{3}，0，-\sqrt{3}），\overrightarrow{A{A_1}}=（0，2，0）$，
所以$\left\{{\begin{array}{l}{\sqrt{3}{x_2}+0×{y_2}-\sqrt{3}{z_2}=0}\\{0×{x_2}+2{y_2}+0×{z_2}=0}\end{array}}\right.$取$\overrightarrow n=（1，0，1）$．（10分）
则$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{{|{\overrightarrow m}|•|{\overrightarrow n}|}}=\frac{2}{{\sqrt{5}×\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$，
∴sin＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{10}}{5}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
所以二面角C-AB₁-A₁的正弦值是$\frac{\sqrt{15}}{5}$．（12分）

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．