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已知点P在椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)上,F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点,满足|PF1|=6-|PF2|,且椭圆C的离心率为
5
3

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若过点Q(1,0)且不与x轴垂直的直线l与椭圆C相交于两个不同点M、N,在x轴上是否存在定点G,使得
GM
GN
为定值.若存在,求出所有满足这种条件的点G的坐标;若不存在,说明理由.
分析:(Ⅰ)要求椭圆C的方程,根据已知|PF1|=6-|PF2|,可求2a,又
c
a
=
5
3
可求c,然后由b2=a2-c2可求b,进而可求椭圆C的方程
(Ⅱ)假设存在符合条件的点G(t,0),因l不垂直于x轴,可设直线l的方程为y=k(x-1),联立方程可得(4+9k2)x2-18k2x+9k2-36=0,由点Q(1,0)在椭圆内部,可得直线l必与椭圆有两个不同交点.根据方程根与系数可设点M(x1,y1)、N(x2,y2),则x1+x2=
18k2
4+9k2
x1x2=
9k2-36
4+9k2
GM
GN
=(x1-t)(x2-t)+y1y2
=(1+k2)
9k2-36
4+9k2
-
18k2
4+9k2
(t+k2)+t2+k2
.(﹡)
解法一:设
GM
GN
=s
,则(1+k2)
9k2-36
4+9k2
-
18k2
4+9k2
(t+k2)+t2+k2=s
,整理得:(9t2-18t-9s-23)k2+4t2-4s-36=0,此式对任意k∈R恒成立,整理可求
解法二:由(﹡)式整理得=
8t-
232
9
9k2+4
+t2-2t-
23
9
.若
GM
GN
为定值,则
8t-
232
9
9k2+4
+t2-2t-
23
9
对任意k∈R恒为常数,从而可求
解答:解:(Ⅰ)因为|PF1|=6-|PF2|,所以2a=6,即a=3
c
a
=
5
3
,所以c=
5
,b2=a2-c2=4
所以椭圆C的方程为
x2
9
+
y2
4
=1

(Ⅱ)假设存在符合条件的点G(t,0),因l不垂直于x轴,设直线l的方程为y=k(x-1),
与椭圆C:
x2
9
+
y2
4
=1
联立并消去y得:(4+9k2)x2-18k2x+9k2-36=0
∵点Q(1,0)在椭圆内部,∴直线l必与椭圆有两个不同交点.
设点M(x1,y1)、N(x2,y2),则x1+x2=
18k2
4+9k2
x1x2=
9k2-36
4+9k2
GM
=(x1-t,y1),
GN
=(x2-t,y2)

GM
GN
=(x1-t)(x2-t)+y1y2
,   =x1x2-(x1+x2)t+t2+k2(x1-1)(x2-1)
,   =(1+k2)x1x2-(x1+x2)(t+k2)+t2+k2

=(1+k2)
9k2-36
4+9k2
-
18k2
4+9k2
(t+k2)+t2+k2
.(﹡)
解法一:设
GM
GN
=s
,则(1+k2)
9k2-36
4+9k2
-
18k2
4+9k2
(t+k2)+t2+k2=s

整理得:(9t2-18t-9s-23)k2+4t2-4s-36=0,此式对任意k∈R恒成立;
所以
9t2-18t-9s-23=0
4t2-4s-36=0
,解得
t=
29
9
s=
112
81

∴存在这样的定点G(
29
9
,0)
满足题意.
解法二:由(﹡)式得:
GM
GN
=
(1+k2)(9k2-36)-18k2(t+k2)+k2(9k2+4)
9k2+4
+t2
=
-27k2-36-18tk2+4k2
9k2+4
+t2=
-3(9k2+4)-24-18tk2+4k2
9k2+4
+t2

=
-24-18tk2+4k2
9k2+4
+t2-3
=
4
9
(9k2+4)-
16
9
-24-18tk2
9k2+4
+t2-3

=
-2t(9k2+4)-
16
9
-24+8t
9k2+4
+t2-3+
4
9
=
8t-
232
9
9k2+4
+t2-2t-
23
9

GM
GN
为定值,则
8t-
232
9
9k2+4
+t2-2t-
23
9
对任意k∈R恒为常数,
所以必有8t-
232
9
=0,即t=
29
9

从而
GM
GN
=t2-2t-
23
9
=
112
81

所以存在这样的定点G(
29
9
,0)
满足题意.
点评:本题考查了利用椭圆的定义求解椭圆的方程,及直线与椭圆相交的应用的求法,关键是利用题中给出的条件,灵活运用韦达定理,利用方程的思想进行求解.
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2
2

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x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)上的点,椭圆短轴长为2,F1,F2是椭圆的两个焦点,|OP|=
10
2
PF1
PF2
=
1
2
(点O为坐标原点).
(Ⅰ)求椭圆C的方程及离心率;
(Ⅱ)直线y=x与椭圆C在第一象限交于A点,若椭圆C上两点M、N使
OM
+
ON
OA
,λ∈(0,2)求△OMN面积的最大值.

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(Ⅱ)直线y=x与椭圆C在第一象限交于A点,若椭圆C上两点M、N使+,λ∈(0,2)求△OMN面积的最大值.

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