Question

“1＜a＜2”是“对任意的正数x，都有2x+

a

x

≥1”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件?

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件?

Answer 1

分析：根据基本不等式，得当“1＜a＜2”时，2x+

a

x

的最小值大于1，故充分性成立；再由二次函数在（0，+∞）上求最值，可得必要性不成立．由此得到正确选项．

解答：解：先看充分性
当“1＜a＜2”成立时，2x+

a

x

≥2

2a

＞2

2

，
故“对任意的正数x，都有2x+

a

x

≥1”成立，说明充分性成立；
再看必要性
若“对任意的正数x，都有2x+

a

x

≥1”成立，则2x²-x+a≥0，
所以（2x²-x+a）_min=a-

1

8

≥0，解之得a≥

1

8

，
不一定有“1＜a＜2”成立，故必要性不成立
故选A

点评：本题以充分必要条件的判断为载体，考查了不等式的性质、基本不等式和二次函数求最值等知识点，属于基础题．