Question

14．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5．
（1）求直线B₁C₁与平面A₁BC₁所成角的正弦值；
（2）在线段BC₁上确定一点D，使得AD⊥A₁B，并求$\frac{BD}{B{C}_{1}}$的值．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能求出直线B₁C₁与平面A₁BC₁所成角的正弦值．
（2）设D（x，y，z）是线段BC₁上一点，且$\overrightarrow{BD}=λ\overrightarrow{B{C}_{1}}$（λ∈[0，1]），利用向量法能求出在线段BC₁上存在点D，使得AD⊥A₁B．并能求出$\frac{BD}{B{C}_{1}}$的值．

解答 解：（1）∵AA₁C₁C为正方形，∴AA₁⊥AC．
∵平面ABC⊥平面AA₁C₁C，
∴AA₁⊥平面ABC，
∴AA₁⊥AC，AA₁⊥AB．
由已知AB=3，BC=5，AC=4，∴AB⊥AC．
如图，以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AA₁为z轴，
建立空间直角坐标系A-xyz，
则B（0，3，0），A₁（0，0，4），B₁（0，3，4），C₁（4，0，4），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（0，3，-4），$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（4，0，0），$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=（4，-3，0）．
设平面A₁BC₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=3y-4z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=4x=0}\end{array}\right.$，令z=3，则x=0，y=4，∴$\overrightarrow{n}$=（0，4，3）．
设直线B₁C₁与平面A₁BC₁所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3×4}{5×5}$=$\frac{12}{25}$．
故直线B₁C₁与平面A₁BC₁所成角的正弦值为$\frac{12}{25}$．…6分
（2）设D（x，y，z）是线段BC₁上一点，且$\overrightarrow{BD}=λ\overrightarrow{B{C}_{1}}$（λ∈[0，1]），
∴（x，y-3，z）=λ（4，-3，4），
∴x=4λ，y=3-3λ，z=4λ，∴$\overrightarrow{AD}$=（4λ，3-3λ，4λ）．
又$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（0，3，-4），由$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{{A}_{1}B}$=0，得3（3-3λ）-4×4λ=0，
即9-25λ=0，解得λ=$\frac{9}{25}$∈[0，1]．
故在线段BC₁上存在点D，使得AD⊥A₁B．此时$\frac{BD}{B{C}_{1}}$=λ=$\frac{9}{25}$． …12分．

点评 本题考查线面角的正弦值的求法，考查满足条件的点是否存在的证明，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．