Question

图（1）是一个边长为1的正三角形，将其每边三等分，以中间一段为边，向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去得图（3），图（4），…，则图（n）中对应图形的周长是

3×(

4

3

)n-1

；

Answer 1

分析：由题意利用等比数列求出第n个图形的边长，再由等比数列求出第n个图形的边数，则答案可求．

解答：解：设第n个图形的边长为a_n，
由题意知，从第2个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形边长的

1

3

，
所以数列{a_n}是首项为1，公比为

1

3

的等比数列，
故an=(

1

3

)n-1，
要计算第n个图形的周长，只需计算第n个图形的边数，第1个图形的边数为3，因为从第2个图形起，每一个图形的边数均为上一个图形边数的4倍，所以第n个图形的边数为3×4^n-1，
因此，第n个图形的周长=(

1

3

)n-1×（3×4^n-1）=3×(

4

3

)n-1．
故答案为3×(

4

3

)n-1．

点评：本题考查了归纳推理，考查了等比数列的通项公式，解答的关键是对规律的寻找，是中档题．