Question

（本小题满分12分）
求与轴x轴相切，圆心在直线3x－y=0上，且被直线x-y=0截下的弦长2的圆的方程

Answer 1

圆方程为x²+y²-2x-6y+1=0，或x²+y²+2x+6y+1=0[

解：法一：设所求圆点方程是(x-a)²+(y-b)²=r²，
则圆心(a,b)到直线x－y=0的距离为，………………………….……3分
，即2r²=(a-b)²+14   ①…………….………5分
由于所求圆与x轴相切，∴r²=b²        ②………………………..……7分
又所求圆心在直线3x-y=0上，∴3a-b="0  " ③   …………………………9分
联立①②③解得 a=1,b=3,r³=9，或a=-1,b=-3,r²=9，……………….11分
故所求圆方程为(x-1)²+(y-3)²=9或(x+1)²+(y+3)²=9.......... 12分
法二：设所求圆点方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0
圆心为半径为
令y=0，得x²+Dx+F=0，由圆与x轴相切，得△=0，
即D²="4F " ①
又圆心到直线x-y=0的距离为。
由已知得，
即(D-E)²+56=2(D²+E²-4F) ②
又圆心在直线3x-y=0上，∴3D-E="0  " ③
联立①②③得D=-2,E=-6,F=1或D=2,E=6,F=1
故所求圆方程为x²+y²-2x-6y+1=0，或x²+y²+2x+6y+1=0