Question

7．已知点A是抛物线x²=4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为$\sqrt{2}+1$．

Answer 1

分析 过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合|PA|=m|PB|，可得$\frac{|PN|}{|PA|}=\frac{1}{m}$，设PA的倾斜角为α，则当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，求出P的坐标，利用双曲线的定义，即可求得双曲线的离心率．

解答 解：过P作准线的垂线，垂足为N，
则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，
∵|PA|=m|PB|，∴|PA|=m|PN|，则$\frac{|PN|}{|PA|}=\frac{1}{m}$，
设PA的倾斜角为α，则sinα=$\frac{1}{m}$，
当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，
设直线PA的方程为y=kx-1，代入x²=4y，可得x²=4（kx-1），
即x²-4kx+4=0，
∴△=16k²-16=0，∴k=±1，
∴P（2，1），
∴双曲线的实轴长为PA-PB=2（$\sqrt{2}$-1），
∴双曲线的离心率为$\frac{2}{2（\sqrt{2}-1）}=\sqrt{2}+1$．
故答案为：$\sqrt{2}+1$．

点评 本题考查抛物线的性质，考查双曲线、抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，解答此题的关键是明确当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，属中档题．