Question

8．已知O、A、B、C是平面内四点，$\overrightarrow{OC}={sin^2}α\;\;\overrightarrow{OA}+{cos^2}α\;\overrightarrow{OB}$，α是锐角．
（1）证明：C在线段AB上；
（2）若α=45°，$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=1$，且$|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}|=\sqrt{2}$，求$|\overrightarrow{OC}|$．

Answer 1

分析 （1）利用sin²α+cos²α=1，$\overrightarrow{OC}={sin^2}α\;\;\overrightarrow{OA}+{cos^2}α\;\overrightarrow{OB}$，即可证明C在线段AB上；
（2）由题意，C是AB的中点，由$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=1$，且$|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}|=\sqrt{2}$，可得OA⊥OB，即可求$|\overrightarrow{OC}|$．

解答 （1）证明：∵sin²α+cos²α=1，$\overrightarrow{OC}={sin^2}α\;\;\overrightarrow{OA}+{cos^2}α\;\overrightarrow{OB}$，
∴A、B、C共线，且C在线段AB上；
（2）解：由题意，C是AB的中点，
∵$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=1$，且$|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}|=\sqrt{2}$，
∴OA⊥OB，
∴$|\overrightarrow{OC}|$=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{BA}$|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，正确运用向量的运算是关键．