Question

18．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为CC₁中点，则下列结论中不正确的是（　　）

• A． BD⊥A₁C₁
• B． AC₁∥平面BDE
• C． 平面BDE∥平面AB₁D₁
• D． 平面A₁BD⊥平面BDE

Answer 1

分析 在A中：由BD⊥AC，得BD⊥A₁C₁；在B中：连结AC、BD，交于点O，连结OE，则OE∥AC₁，从而AC₁∥平面BDE；在C中，平面BDE与平面AB₁D₁相交；在D中，∠A₁OE是二面角A₁-BD-E的平面角，由勾股定理得∠A₁OE=90°，从而平面A₁BD⊥平面BDE．

解答 解：由正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为CC₁中点，知：
在A中：∵BD⊥AC，AC∥A₁C₁，∴BD⊥A₁C₁，故A正确；
在B中：连结AC、BD，交于点O，连结OE，
∵ABCD是正方形，∴O是AC中点，
∵E为CC₁中点，∴OE∥AC₁，
∵AC₁?平面BDE，OE?平面BDE，
∴AC₁∥平面BDE，故B正确；
在C中：∵AB₁∥BC₁，BC₁∩BE=B，AD₁∥DC₁，DC₁∩DE=D，
AB₁、AD₁?平面AB₁D₁，BC₁、DC₁?平面BDE，
∴平面BDE与平面AB₁D₁相交，故C错误；
在D中：设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为2，
连结A₁D、A₁B、A₁O、A₁E，则${A}_{1}D={A}_{1}B=2\sqrt{2}$，OA₁=$\sqrt{4+2}$=$\sqrt{6}$，
$DE=BE=\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$，OE=$\sqrt{2+1}$=$\sqrt{3}$，A₁E=$\sqrt{8+1}$=3，
∴∠A₁OE是二面角A₁-BD-E的平面角，
∵${A}_{1}{O}^{2}+O{E}^{2}$=6+3=9=${A}_{1}{E}^{2}$，
∴∠A₁OE=90°，
∴平面A₁BD⊥平面BDE，故D正确．
故选：C．

点评 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．