Question

如图，四边形PCBM是直角梯形，，∥，．又，，直线AM与直线PC所成的角为．

（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

试题分析：方法1：（1）∵，∴平面ABC，∴．5分
（2）取BC的中点N，连MN．∵，∴，∴平面ABC．作
，交AC的延长线于H，连结MH．由三垂线定理得，∴为二面角的平面角．∵直线AM与直线PC所成的角为，∴在中，．
在中，．
在中，．
在中，．
在中，∵，∴．
故二面角的余弦值为．13分
方法2：（1）∵，∴平面ABC，∴．5分
（2）在平面ABC内，过C作BC的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．设，则．．   5分
∵，
且，∴，得，∴． 8分
设平面MAC的一个法向量为，则由得得∴． 10分
平面ABC的一个法向量为． 12分
显然，二面角为锐二面角，∴二面角的余弦值为．13分
点评：解决的关键是借助于空间向量法或几何性质法来得到证明和求解，属于基础题。