Question

已知向量

a

=（cosλθ，cos（10-λ）θ），

b

=（sin（10-λ）θ，sinλθ），λ、θ∈R．
（1）求|

a

|2+|

b

|2的值；
（2）若

a

⊥

b

，求θ；
（3）若θ=

π

20

，求证：

a

∥

b

．

Answer 1

分析：（1）由向量的数量积的坐标表示可求|

a

|，|

b

|，代入即可求解
（2）由

a

⊥

b

，利用向量数量积的性质的坐标表示可得cosλθ•sin（10-λ）θ+cos（10-λ） θ•sinλθ=0，整理可求θ
（3）要证明

a

∥

b

，根据向量平行的坐标表示，只要证明cosλθ•sinλθ-cos（10-λ） θ•sin[（10-λ） θ]=0即可

解答：解：（1）∵|

a

|=

cos2λθ+cos2(10-λ)θ

，|

b

|=

sin2(10-λ)θ+sin2λθ

（算1个得1分）
|

a

|²+|

b

|²=2，…（4分）
（2）∵

a

⊥

b

，
∴cosλθ•sin（10-λ）θ+cos（10-λ） θ•sinλθ=0
∴sin（（10-λ） θ+λθ）=0，
∴sin10θ=0…（7分）
∴10θ=kπ，k∈Z，
∴θ=

kπ

10

，k∈Z…（9分）
（3）∵θ=

π

20

，cosλθ•sinλθ-cos（10-λ） θ•sin[（10-λ） θ]
=cos

λπ

20

•sin

λπ

20

-cos（

π

2

-

λπ

20

）•sin（

π

2

-

λπ

20

）
=cos

λπ

20

•sin

λπ

20

-sin

λπ

20

•cos

λπ

20

=0，
∴

a

∥

b

…..…..（14分）

点评：本题主要考查了 向量的数量积的性质的坐标表示及向量平行的坐标表示，属于基础试题