【题目】已知函数f(x)=sin(2x﹣ )+2cos2x﹣1(x∈R).
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)在△ABC中,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知f(A)= ,b,a,c成等差数列,且 =9,求a的值.
【答案】
(1)解:f(x)= = sin2x+ cos2x=sin(2x+ ).
令 2kπ﹣ ≤(2x+ )≤2kπ+ ,可得 kπ﹣ ≤x≤kπ+ ,k∈z.
即f(x)的单调递增区间为[kπ﹣ ,kπ+ ],k∈z.
(2)解:在△ABC中,由 ,可得sin(2A+ )= ,∵ <2A+ <2π+ ,
∴2A+ = 或 ,∴A= (或A=0 舍去).
∵b,a,c成等差数列可得 2a=b+c,∵ =9,∴bc·cosA=9,即bc=18.
由余弦定理可得 a2=b2+c2﹣2bccosA=(b+c)2﹣3bc=4a2﹣54,
求得a2=18,∴a=3
【解析】(I)利用两角和差的三角公式化简f(x)的解析式,得到sin(2x+ ),由2kπ﹣ ≤(2x+ )≤2kπ+ ,解出x的范围,即得f(x)的单调递增区间.
(II)在△ABC中,由 ,求得A的值;根据b,a,c成等差数列以及 =9,利用余弦定理求得a值.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用正弦函数的单调性的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握正弦函数的单调性:在上是增函数;在上是减函数.
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【题目】已知椭圆C: + =1(a>b>0)经过点(1, ),离心率为 ,点A为椭圆C的右顶点,直线l与椭圆相交于不同于点A的两个点P(x1 , y1),Q(x2 , y2).
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)当 ⊥ =0时,求△OPQ面积的最大值.
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【题目】已知函数f(x)=x2﹣4x+a+3:
(1)若函数y=f(x)在[﹣1,1]上存在零点,求实数a的取值范围;
(2)设函数g(x)=x+b,当a=3时,若对任意的x1∈[1,4],总存在x2∈[5,8],使得g(x1)=f(x2),求实数b的取值范围.
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【题目】如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分),已知甲组数据的中位数为17,乙组数据的平均数为17.4,则x、y的值分别为( )
A.7、8
B.5、7
C.8、5
D.7、7
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【题目】在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 (t为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为 .
(Ⅰ)求圆C的圆心到直线l的距离;
(Ⅱ)设圆C与直线l交于点A、B.若点P的坐标为(3, ),求|PA|+|PB|.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知C1: (θ为参数),将C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 和2倍后得到曲线C2以平面直角坐标系xOy的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线l:ρ( cosθ+sinθ)=4
(1)试写出曲线C1的极坐标方程与曲线C2的参数方程;
(2)在曲线C2上求一点P,使点P到直线l的距离最小,并求此最小值.
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【题目】已知等边三角形PAB的边长为4,四边形ABCD为正方形,平面PAB⊥平面ABCD,E,F,G,H分别是线段AB,CD,PD,PC上的点.
(1)如图①,若G为线段PD的中点,BE=DF=1,证明:PB∥平面EFG;
(2)如图②,若E,F分别是线段AB,CD的中点,DG=3GP,GH= HP,求二面角H﹣EF﹣G的余弦值.
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【题目】如图,菱ABCD与四边形BDEF相交于BD,∠ABC=120°,BF⊥平面ABCD,DE∥BF,BF=2DE,AF⊥FC,M为CF的中点,AC∩BD=G.
(I)求证:GM∥平面CDE;
(II)求直线AM与平面ACE成角的正弦值.
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