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【题目】已知函数f(x)=sin(2x﹣ )+2cos2x﹣1(x∈R).
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)在△ABC中,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知f(A)= ,b,a,c成等差数列,且 =9,求a的值.

【答案】
(1)解:f(x)= = sin2x+ cos2x=sin(2x+ ).

令 2kπ﹣ ≤(2x+ )≤2kπ+ ,可得 kπ﹣ ≤x≤kπ+ ,k∈z.

即f(x)的单调递增区间为[kπ﹣ ,kπ+ ],k∈z.


(2)解:在△ABC中,由 ,可得sin(2A+ )= ,∵ <2A+ <2π+

∴2A+ = ,∴A= (或A=0 舍去).

∵b,a,c成等差数列可得 2a=b+c,∵ =9,∴bc·cosA=9,即bc=18.

由余弦定理可得 a2=b2+c2﹣2bccosA=(b+c)2﹣3bc=4a2﹣54,

求得a2=18,∴a=3


【解析】(I)利用两角和差的三角公式化简f(x)的解析式,得到sin(2x+ ),由2kπ﹣ ≤(2x+ )≤2kπ+ ,解出x的范围,即得f(x)的单调递增区间.

(II)在△ABC中,由 ,求得A的值;根据b,a,c成等差数列以及 =9,利用余弦定理求得a值.

【考点精析】根据题目的已知条件,利用正弦函数的单调性的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握正弦函数的单调性:在上是增函数;在上是减函数.

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