Question

【题目】已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）经过点（1， ），离心率为 ，点A为椭圆C的右顶点，直线l与椭圆相交于不同于点A的两个点P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）当 ⊥ =0时，求△OPQ面积的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意知：且 ，可得： ，

椭圆C的标准方程为

（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，设l：x=m，与 ，联立得 ．

由于 ，得 ，解得 或m=2（舍去）．

此时 ，△OPQ的面积为

当直线l的斜率存在时，由题知k≠0，设l：y=kx+m，与 联立，

整理得：（4k2+1）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．由△＞0，得4k2﹣m2+1＞0；

且 ，

由于 ，得： ．

代入（*）式得：12k2+5m2+16km=0，即 或m=﹣2k（此时直线l过点A，舍去）．

，

点O到直线l的距离为：

S△OPQ= ，将 代入得： ，

令 0＜p＜1， ，由y=﹣9p2﹣7p+16，

在（0，1）上递减，

∴0＜y＜16，故 ，

综上（S△OPQ）max=

【解析】（Ⅰ）将点代入椭圆方程，根据椭圆的离心率公式，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）分类讨论．当直线l的斜率不存在时，求得P，Q点坐标，由 ⊥ =0即可求得m的值，求得丨PQ丨，即可求得△OPQ面积；

当直线l的斜率存在，且不为0，代入椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式及向量数量积的坐标运算，根据函数的单调性即可求得△OPQ面积的最大值．