Question

【题目】函数p（x）=lnx+x﹣4，q（x）=axex（a∈R）．
（Ⅰ）若a=e，设f（x）=p（x）﹣q（x），试证明f′（x）存在唯一零点x0∈（0， ），并求f（x）的最大值；
（Ⅱ）若关于x的不等式|p（x）|＞q（x）的解集中有且只有两个整数，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：由题知f（x）=lnx+x﹣4﹣exex，

于是 ，

令μ（x）=1﹣exex，则μ′（x）=﹣e（x+1）ex＜0（x＞0），

∴μ（x）在（0，+∞）上单调递减．

又μ（0）=1＞0， =1﹣ ＜0，

所以存在x0∈（0， ），使得μ（x0）=0，

综上f（x）存在唯一零点x0∈（0， ）

当x∈（0，x0），μ（x）＞0，于是f′（x）＞0，f（x）在（0，x0）单调递增；

当x∈（x0，+∞），μ（x）＜0，于是f′（x）＜0，f（x）在（x0，+∞）单调递减．

故f（x）max=f（x0）=lnx0+x0﹣4﹣ex0e ，

又 ，e = ，x0=ln =﹣1﹣lnx0，

故 =﹣5﹣1=﹣6．

（Ⅱ） 解：|p（x）|＞q（x）等价于|lnx+x﹣4|＞axex．

a＜| |

令h（x）=＜ ，则h ，

令φ（x）=lnx+x﹣5，则φ ＞0，即φ（x）在（0，+∞）上单调递增．

又φ（3）=ln3﹣2＜0，φ（4）=ln4﹣1＞0，

∴存在t∈（3，4），使得φ（t）=0．

∴当x∈（0，t），φ（x）＜0h′（x）＞0h（x）在（0，t）单调递增；

当x∈（t，+∞），φ（x）＞0h′（x）＜0h（x）在（t，+∞）单调递减．

∵h（1）=﹣ ＜0，h（2）= ，h（3）= ，

且当x＞3时，h（x）＞0，

又|h（1）|= ，|h（2）|= ＞|h（3）|= ，|h（4）|= ，

故要使不等式式|p（x）|＞q（x）解集中有且只有两个整数，a的取值范围应为：

【解析】（Ⅰ）是 ，令μ（x）=1﹣exex，则μ′（x）=﹣e（x+1）ex＜0（x＞0），可得f（x）存在唯一零点x0∈（0， ），即f（x）max=f（x0）=lnx0+x0﹣4﹣ex0e ，又 ，e = ，x0=ln =﹣1﹣lnx0，即可得 =﹣5﹣1=﹣6 （Ⅱ）|p（x）|＞q（x）a＜| ，令h（x）=＜ ，则h ，令φ（x）=lnx+x﹣5，可得存在t∈（3，4），使得φ（t）=0，又|h（1）|= ，|h（2）|= ＞|h（3）|= ，|h（4）|= ，即可得a的取值范围应为
【考点精析】关于本题考查的函数的最值及其几何意义和函数的极值与导数，需要了解利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能得出正确答案．