Question

【题目】已知函数f（x）=xex﹣lnx（ln2≈﹣0.693， ≈1.648，均为不足近似值）
（1）当x≥1时，判断函数f（x）的单调性；
（2）证明：当x＞0时，不等式f（x）＞ 恒成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：对f（x）=xex﹣lnx求导得f′（x）=（x+1）ex﹣ ，

∵x≥1时，（x+1）ex≥2e， ≤1，

∴f′（x）≥2e﹣1＞0，

∴f（x）在[1，+∞）递增

（2）证明：∵f′（ ）=1.25 ﹣4＜1.25×2﹣4＜0，

f′（ ）= ﹣2＞ ×1.648﹣2=0.472＞0，

又f′（x）在（0，+∞）递增，

∴f′（x）在（0，+∞）内有唯一1个零点x0，

且（x0+1） = ，x0∈（ ， ），

∴x=x0是f（x）在（0，+∞）上唯一的极小值点，也是最小值值点，

∴f（x）≥f（x0）=x0 ﹣lnx0= ﹣lnx0， ＜x0＜ ，

∴f（x）在[ ， ]递减，

∴f（x0）≥f（ ）= +ln2＞ +0.639＞1.359＞ ，

∴f（x）＞

【解析】（1）求出函数的导数，判断导函数的符合，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．