Question

【题目】已知数列{an}中，a1=4，an+1= ，n∈N* ， Sn为{an}的前n项和．
（Ⅰ）求证：n∈N*时，an＞an+1；
（Ⅱ）求证：n∈N*时，2≤Sn﹣2n＜ ．

Answer 1

【答案】证明：（I）n≥2时，作差：an+1﹣an= ﹣ = ，

∴an+1﹣an与an﹣an﹣1同号，

由a1=4，可得a2= = ，可得a2﹣a1＜0，

∴n∈N*时，an＞an+1．

（II）∵2 =6+an，∴ =an﹣2，即2（an+1﹣2）（an+1+2）=an﹣2，①

∴an+1﹣2与an﹣2同号，

又∵a1﹣2=2＞0，∴an＞2．

∴Sn=a1+a2+…+an≥4+2（n﹣1）=2n+2．

∴Sn﹣2n≥2．

由①可得： = ，

因此an﹣2≤（a1﹣2） ，即an≤2+2× ．

∴Sn=a1+a2+…+an≤2n+2× ＜2n+ ．

综上可得：n∈N*时，2≤Sn﹣2n＜

【解析】（I）n≥2时，作差：an+1﹣an= ，可得an+1﹣an与an﹣an﹣1同号，由a2﹣a1＜0，即可证明：n∈N*时，an＞an+1．（II）2 =6+an，∴可得=an﹣2，即2（an+1﹣2）（an+1+2）=an﹣2，因此an+1﹣2与an﹣2同号，可得Sn=a1+a2+…+an≥4+2（n﹣1）．即可证明左边．由： = ，可得：an≤2+2× ．利用等比数列的求和公式化简即可证明右边．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系，以及对数列的通项公式的理解，了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．