Question

【题目】已知函数f（x）= cos2x﹣2cos2（x+ ）+1．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0， ]上的最值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）= cos2x﹣2cos2（x+ ）+1

= cos2x﹣cos（2x+ ）

= cos2x+sin2x

=2sin（2x+ ）；

令2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，

解得kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，

∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣ ，kπ+ ]（k∈Z）；

（Ⅱ）当x∈[0， ]时，2x+ ∈[ ， ]，

∴sin（2x+ ）∈[﹣ ，1]，

∴f（x）在区间[0， ]上的最大值为2，最小值为﹣ ；

且x= 时f（x）取得最大值2，x= 时f（x）取得最小值﹣

【解析】（Ⅰ）化函数f（x）为正弦型函数，根据正弦函数的单调性求出f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求出x∈[0， ]时，sin（2x+ ）的取值范围，

即可求出f（x）的最大、最小值．

【考点精析】解答此题的关键在于理解正弦函数的单调性的相关知识，掌握正弦函数的单调性：在上是增函数；在上是减函数，以及对三角函数的最值的理解，了解函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，．