Question

【题目】[选修4-4：坐标系与参数方程]设在平面上取定一个极坐标系，以极轴作为直角坐标系的x轴的正半轴，以θ= 的射线作为y轴的正半轴，以极点为坐标原点，长度单位不变，建立直角坐标系，已知曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2，直线l的参数方程 （t为参数）．
（1）写出直线l的普通方程与曲线C的极坐标方程；
（2）设平面上伸缩变换的坐标表达式为 ，求C在此变换下得到曲线C'的方程，并求曲线C′内接矩形的最大面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：把直线l的参数方程 （t为参数），消去参数，化为直角坐标方程为 2x+y﹣2=0．

曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2，即 ρ2=2，即 ρ= ．

（2）解：设平面上伸缩变换的坐标表达式为 ，

曲线C在此变换下得到曲线C'的方程为 +Y2=2，即 + =1．

曲线C'的参数方程为 ，根据椭圆的对称性，曲线的内接矩形的面积为4|XY|=8|sin2α|，

故当α= 时，曲线的内接矩形的面积最大为8．

【解析】（1）把直线l的参数方程消去参数，化为直角坐标方程，曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2，即ρ2=2，化简可得结果．（2）先求得曲线C在此变换下得到曲线C'的方程为 +Y2=2，再求得曲线C'的参数方程为 ，根据椭圆的对称性，曲线的内接矩形的面积为4|XY|=8|sin2α|，由此可得曲线的内接矩形的面积最大值．