Question

【题目】已知点P在圆C：x2+y2=4上，而Q为P在x轴上的投影，且点N满足 ，设动点N的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）若A，B是曲线E上两点，且|AB|=2，O为坐标原点，求△AOB的面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设P（xp，yp），∴ ，∵PQ⊥x轴，所以Q（xp，0），

又设N（x'，y'），由 有 代入 ．

即曲线E的方程为

（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB方程为：y=kx+t，

联立 得（4k2+1）x2+8ktx+4（t2﹣1）=0，故 ，

由4=|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2=（1+k2）[（x2+x1）2﹣4x1x2]，得 ，

故原点O到直线AB的距离 ，∴ ，

令u= ，则 ，又∵u= =4﹣ ∈[1，4），当

当斜率不存在时，△AOB不存在，综合上述可得△AOB面积的最大值为1

【解析】（1）设P（xp，yp），利用 ，结合Q（xp，0），设N（x'，y'），通过 有 代入圆的方程，得到曲线E的方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB方程为：y=kx+t，联立 利用韦达定理以及弦长公式，表示出三角形的面积，然后求解最值，