Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ACB=90°，平面PAD⊥平面ABCD，PA=BC=1，PD=AB= ，E、F分别为线段PD和BC的中点．
（Ⅰ）求证：CE∥平面PAF；
（Ⅱ）在线段BC上是否存在一点G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°？若存在，试确定G的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：取PA中点为H，连结CE、HE、FH，

∵H、E分别为PA、PD的中点，∴HE∥AD，HE= ，

∵ABCD是平行四边形，且F为线段BC的中点，

∴FC∥AD，EC= ，

∴HE∥FC，HE=FC，四边形FCEH是平行四边形，

∴EC∥HF，又∵CE不包含于平面PAF，HF平面PAF，

∴CE∥平面PAF．…（4分）

（Ⅱ）解：∵四边形ABCD为平行四边形且∠ACB=90°，

∴CA⊥AD，又由平面PAD⊥平面ABCD，

∴CA⊥平面PAD，∴CA⊥PA

由PA=AD=1，PD= 知，PA⊥AD

∴建立如图所示的平面直角坐标系A﹣xyz

∵PA=BC=1，AB= ，∴AC=1，

∴B（1，﹣1，0），C（1，0，0），P（0，0，1），

假设BC上存在一点G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°，

设点G的坐标为（1，a，0），﹣1≤a≤0，

∴ ， =（0，0，1），

设平面PAG的法向量为 =（x，y，z），

则 ，令x=a，y=﹣1，z=0，∴ =（a，﹣1，0），

又 =（0，b，0）， =（﹣1，0，1），

设平面PCG的法向量为 =（x，y，z），

则 ，令x=1，y=0，z=1，∴ =（1，0，1），…（9分）

∵平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°，

∴|cos＜ ＞|=| |= ，

∴a=±1，又﹣1≤a≤0，∴a=﹣1，

所以线段BC上存在一点G，

使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°

点G即为B点．

【解析】（1）取PA中点为H，连结CE、HE、FH，由已知得ABCD是平行四边形，四边形FCEH是平行四边形，由此能证明CE∥平面PAF．（2）由已知得CA⊥AD，CA⊥平面PAD，CA⊥PA，建立平面直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出平面PAG和平面PGC所成二面角的大小．
【考点精析】关于本题考查的直线与平面平行的判定，需要了解平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能得出正确答案．