Question

【题目】我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超过x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求直方图中a的值；
（Ⅱ）若将频率视为概率，从该城市居民中随机抽取3人，记这3人中月均用水量不低于3吨的人数为X，求X的分布列与数学期望．
（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值（精确到0.01），并说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：根据频率和为1，得

（0.06+0.18+2a+0.42+0.52+0.11+0.06+0.03）×0.5=1，

解得a=0.30；

解：月均用水量不低于3吨的频率为

（0.11+0.06+0.03）×0.5=0.1，

则p=0.1，抽取的人数为X，

则X的可能取值为0，1，2，3；

∴P（X=0）= 0.93=0.729，

P（X=1）= 0.10.92=0.243，

P（X=2）= 0.120.9=0.027，

P（X=3）= 0.13=0.001；

∴X的分布列为

X	0	1	2	3
P	0.729	0.243	0.027	0.001

（Ⅲ）数学期望为EX=0×0.729+1×0.243+2×0.027+3×0.001=0.3；

（Ⅲ）解：由图可知，月均用水量小于2.5吨的居民人数所占的百分比为

0.5×（0.06+0.18+0.3+0.42+0.52）=0.73，

即73%的居民月均用水量小于2.5吨；

同理，88%的居民月均用水量小于3吨；

故2.5＜x＜3，

假设月均用水量平均分布，则

x=2.5+0.5× =2.9（吨），

即85%的居民每月用水量不超过标准为2.9吨．

【解析】（Ⅰ）根据频率和为1，列出方程求得a的值；（Ⅱ）计算月均用水量不低于3吨的频率值，由抽取的人数X的可能取值为0，1，2，3；

计算对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望值；（Ⅲ）计算月均用水量小于2.5吨和小于3吨的百分比，

求出有85%的居民月用水量不超过的标准值．

【考点精析】掌握频率分布直方图和离散型随机变量及其分布列是解答本题的根本，需要知道频率分布表和频率分布直方图，是对相同数据的两种不同表达方式.用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式，可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息，又可以利用图形传递信息；在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列．