Question

【题目】给定椭圆C： =1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为 的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F（ ，0），其短轴上的一个端点到F的距离为 ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；
（Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1 ， l2交“准圆”于点M，N．
（ⅰ）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1 ， l2的方程并证明l1⊥l2；
（ⅱ）求证：线段MN的长为定值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：∵椭圆C的一个焦点为F（ ，0），其短轴上的一个端点到F的距离为 ．

∴ ， ，

∴ =1，

∴椭圆方程为 ，

∴准圆方程为x2+y2=4．

（Ⅱ）证明：（ⅰ）∵准圆x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P（0，2），

设过点P（0，2）且与椭圆相切的直线为y=kx+2，

联立 得（1+3k2）x2+12kx+9=0．

∵直线y=kx+2与椭圆相切，

∴△=144k2﹣4×9（1+3k2）=0，解得k=±1，

∴l1，l2方程为y=x+2，y=﹣x+2．

∵ ，

∴l1⊥l2．

（ⅱ）①当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，

则l1： ，

当l1： 时，l1与准圆交于点 ，

此时l2为y=1（或y=﹣1），显然直线l1，l2垂直；

同理可证当l1： 时，直线l1，l2垂直．

②当l1，l2斜率存在时，设点P（x0，y0），其中 ．

设经过点P（x0，y0）与椭圆相切的直线为y=t（x﹣x0）+y0，

∴由

得 ．

由△=0化简整理得 ，

∵ ，∴有 ．

设l1，l2的斜率分别为t1，t2，

∵l1，l2与椭圆相切，

∴t1，t2满足上述方程 ，

∴t1t2=﹣1，即l1，l2垂直．

综合①②知：∵l1，l2经过点P（x0，y0），又分别交其准圆于点M，N，且l1，l2垂直．

∴线段MN为准圆x2+y2=4的直径，|MN|=4，

∴线段MN的长为定值．

【解析】（Ⅰ）利用已知椭圆的标准方程及其 即可得出；（Ⅱ）（i）把直线方程代入椭圆方程转化为关于x的一元二次方程，利用直线与椭圆相切△=0，即可解得k的值，进而利用垂直与斜率的关系即可证明；（ii）分类讨论：l1，l2经过点P（x0，y0），又分别交其准圆于点M，N，无论两条直线中的斜率是否存在，都有l1，l2垂直．即可得出线段MN为准圆x2+y2=4的直径．