Question

【题目】知 =（2λsinx，sinx+cosx）， =（ cosx，λ（sinx﹣cosx））（λ＞0），函数f（x）= 的最大值为2．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosA= ，若f（A）﹣m＞0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数 = λsin2x﹣λcos2x

=2λ（ sin2x﹣ cos2x）=2λsin（2x﹣ ），

因为f（x）的最大值为2，所以解得λ=1，则 ．

由 ，

可得： ， ，

所以函数f（x）的单调减区间为 ，k∈Z．

（2）解：由 ．可得2b2﹣ab=b2+c2﹣a2，

即b2+a2﹣c2=ab，解得 ，即 ．

因为 ，∴ ， ．

因为 恒成立，则 恒成立，即m≤﹣1．

【解析】（1）利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换，求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求函数f（x）的单调递减区间．（2）利用余弦定理求得cosC的值，可得C的值，再利用正弦函数的定义域和值域，求得f（A）的最小值，可得m的范围．
【考点精析】掌握余弦定理的定义是解答本题的根本，需要知道余弦定理:;;．