Question

15．若c=2，∠C=$\frac{π}{3}$且△ABC是锐角三角形，则△ABC周长的取值范围（2$\sqrt{3}$+2，6]．

Answer 1

分析 通过角的范围，利用正弦定理推出a+b的关系，利用两角和的正弦函数，化简函数的表达式，求出a+b的取值范围，从而可求周长的取值范围．

解答 解：由∠C=$\frac{π}{3}$且三角形是锐角三角形可得$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{2}$，
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，
∴a=$\frac{c}{sinC}$×sinA=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinA，
b=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinB=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sin（$\frac{2π}{3}$-A），
∴a+b=$\frac{4}{\sqrt{3}}$[sinA+sin（$\frac{2π}{3}$-A）]=$\frac{4}{\sqrt{3}}$（$\frac{3}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA）=4sin（A+$\frac{π}{6}$），
∴$\frac{π}{3}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜sin（A+$\frac{π}{6}$）≤1，即 2$\sqrt{3}$＜a+b≤4
∴△ABC周长l=a+b+c∈（2$\sqrt{3}$+2，6]．
故答案为：（2$\sqrt{3}$+2，6]．

点评 本题考查两角和的正弦函数、正切函数以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于基本知识的考查．