Question

10．在平面直角坐标系中，已知两点A（-3，0）及B（3，0），动点Q到点A的距离为10，线段BQ的垂直平分线交AQ于点P．
（Ⅰ）求|PA|+|PB|的值；      
（Ⅱ）求点P的轨迹方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线段中垂线的性质可得|PA|+|PB|的值；      
（Ⅱ）据椭圆的定义判断轨迹椭圆，求出a、b值，即得椭圆的标准方程．

解答 解：（Ⅰ）∵线段BQ的垂直平分线交AQ于点P，
∴|PB|=|PQ|，
∴|PA|+|PB|=|PA|+|PQ|=|AQ|=10；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知|PA|+|PB|=10（常数），又|PA|+|PB|=10＞6=|AB|，
∴点P的轨迹是中心在原点，以A，B为焦点，长轴在x轴上的椭圆，其中2a=10，2c=6，
∴椭圆的轨迹方程为$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$．

点评 本题考查椭圆的定义、椭圆的标准方程，得出|PA|+|PB|=10＞6=|AB|，是解题的关键和难点．