Question

18．将△ABC的三个内角A、B、C所对的边依次记为a、b、c，若a，$\sqrt{3}$+1是方程x²-（b+$\sqrt{3}$-1）x+$\sqrt{3}$b=b的两根，且2cos（A+B）=1．
（Ⅰ）求角C的度数；
（Ⅱ）求边c的长；
（Ⅲ）求△ABC边AB上的高CD的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由2cos（A+B）=1，利用三角形内角和定理可得cosC=-$\frac{1}{2}$，从而可求得C=120°．
（Ⅱ）由韦达定理可得$\left\{\begin{array}{l}{a+\sqrt{3}+1=b+\sqrt{3}-1}\\{a（\sqrt{3}+1）=（\sqrt{3}-1）b}\end{array}\right.$，解得a，b，利用余弦定理即可求c的值．
（Ⅲ）由正弦定理可得：$\frac{\sqrt{3}-1}{sinA}=\frac{\sqrt{10}}{sin120°}$，解得sinA，从而可求高CD=bsinA的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）∵2cos（A+B）=1，
∴cosC=-$\frac{1}{2}$，可得C=120°…4分
（Ⅱ）∵a，$\sqrt{3}$+1是方程x²-（b+$\sqrt{3}$-1）x+$\sqrt{3}$b=b的两根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+\sqrt{3}+1=b+\sqrt{3}-1}\\{a（\sqrt{3}+1）=（\sqrt{3}-1）b}\end{array}\right.$，解得：a=$\sqrt{3}-1$，b=$\sqrt{3}+1$，
∴由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC=10，
∴解得：c=$\sqrt{10}$…8分
（Ⅲ）由正弦定理可得：$\frac{\sqrt{3}-1}{sinA}=\frac{\sqrt{10}}{sin120°}$，解得：sinA=$\frac{\sqrt{30}（\sqrt{3}-1）}{20}$，
∴高CD=bsinA=（$\sqrt{3}+1$）$\frac{\sqrt{30}（\sqrt{3}-1）}{20}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，韦达定理的应用，考查了计算能力，属于基本知识的考查．