Question

9．根据下面一组等式
S₁=1，
S₂=2+3=5，
S₃=4+5+6=15，
S₄=7+8+9+10=34，
S₅=11+12+13+14+15=65，
S₆=16+17+18+19+20+21=111，
S₇=22+23+24+25+26+27+28=175，
…
可得S₁+S₃+S₅+…+S_2n-1=（　　）

• A． 2n²
• B． n³
• C． 2n³
• D． n⁴

Answer 1

分析 利用等差数列的通项公式与求和公式，可得S_n=（n³+n），再以2n-1代替n，得S_2n-1=4n³-6n²+4n-1，结合和的特点可以求解．

解答 解：由题中数阵的排列特征，设第i行的第1个数记为a_i（i=1，2，3…n）
则a₂-a₁=1
a₃-a₂=2
a₄-a₃=3
…
a_n-a_n-1=n-1
以上n-1个式子相加可得，a_n-a₁=1+2+…+（n-1）=$\frac{1+n-1}{2}$×（n-1）=$\frac{n（n-1）}{2}$，
∴a_n=$\frac{n（n-1）}{2}$+1
S_n共有n连续正整数相加，并且最小加数为$\frac{n（n-1）}{2}$+1，最大加数$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴S_n=n•×$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{n（n-1）}{2}$×（-1）=$\frac{1}{2}$（n³+n）
∴S_2n-1=$\frac{1}{2}$[（2n-1）³+（2n-1）]=4n³-6n²+4n-1，
∴S₁=1
S₁+S₃=16=2⁴
S₁+S₃+S₅=81=3⁴
∴S₁+S₃+…+S_2n-1=1+15+65+…+4n³-6n²+4n-1=n⁴．
故选：D

点评 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．