Question

已知数列{a_n}满足：a₁=，且a_n=（n≥2，n∈N^*）．
（1）求++…+的值；
（2）求证：a₁++…+≤n+-（n∈N^*）；
（3）设（n∈N^*），求证：b₁b₂…b_n＜2．

Answer 1

解：（1）∵a₁=，且a_n=（n≥2，n∈N^*），∴=，=+．
∴=2+，∴3（）=-1．
故可得 {}是以-位首项，以为公比的等比数列，∴-1=- ，∴=1-．
∴++…+=n-=n-+ ．

（2）∵=1-，∴==1+≤1+，

∴a₁++…+≤n++=n++-=n+-（n∈N^*）．

（3）∵b_n==，现用数学归纳法证明 b₁b₂…b_n＜2 ，（n≥2）．
当n=2时，b₁b₂ = = =2 ．
假设当n=k （k≥2）时，b₁b₂…b_k ＜2 ，
当 n=k+1时，b₁b₂…b_k b_k+1＜2 •．
要证明 2 •＜2，
只需证明 3^k+1•3^k+1 （ 3^k-1）＜3^k•（3^k+1-1）²，
只要证 3×3^k+1 （ 3^k-1）＜（3^k+1-1）²，3^2k+2-3^k+2＜3^2k+2-23^k+1+1，
3^k+2＞23^k+1-1，3^k+1＞-1．
而3^k+1＞-1 显然成立，∴n=k+1 时，b₁b₂…b_k b_k+1＜2，
综上得 b₁b₂…b_k b_k+1＜2＜2．
又当n=1时，b₁＜2，所以 b₁b₂…b_k b_k+1＜2．
分析：（1）把所给的式子变形可得 3（）=-1，故可得 {}是以-位首项，以为公比的等比数列，求出 =1-，从而可求 ++…+ 的值．
（2）由条件可得 =≤1+，从而得到 a₁++…+≤n++=n++-，运算求出结果．
（3）由b_n==，用数学归纳法证明 b₁b₂…b_n＜2 ＜2，（n≥2），再由b₁＜2，从而得出结论成立．
点评：本题主要考查用放缩法证明不等式，用数学归纳法证明不等式，掌握好放缩的程度，是解题的难点．还考查等比数列的前n项和公式，等比关系的确定，数列与不等式的综合，属于难题．