Question

【题目】已知函数f（x）=lnx，g（x）= ax+b．
（1）若f（x）与g（x）在x=1处相切，试求g（x）的表达式；
（2）若φ（x）= ﹣f（x）在[1，+∞）上是减函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得f′（x）= ，∴f′（1）=1= a，a=2．

又∵g（1）=0= a+b，∴b=﹣1，∴g（x）=x﹣1

（2）解：φ（x）= ﹣f（x）= ﹣lnx在[1，+∞）上是减函数，

∴φ′（x）= ≤0在[1，+∞）上恒成立．

即x2﹣（2m﹣2）x+1≥0在[1，+∞）上恒成立，则2m﹣2≤x+ ，x∈[1，+∞），

∵x+ ∈[2，+∞），∴2m﹣2≤2，m≤2

【解析】（1）求出函数的导数，得到f′（1）=1= a，求出a的值即可；根据g（1）=0，求出b的值，从而求出g（x）的表达式；（2）求出φ′（x），问题转化为则2m﹣2≤x+ ，x∈[1，+∞），求出m的范围即可．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．