Question

已知O为坐标原点，直线y=x+a与圆x²+y²=4分别交于A，B两点．若

OA

?

OB

=-2，则实数a的值为（　　）

• A、1
• B、

  2

• C、±1
• D、±

  2

Answer 1

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．把直线与圆的方程联立化为2x²+2ax+a²-4=0，由于直线与圆相交于两点，可得△＞0．得到根与系数的关系，再利用数量积运算即可得出．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

y=x+a x2+y2=4

，化为2x²+2ax+a²-4=0，
∵直线与圆相交于两点，
∴△=4a²-8（a²-4）＞0，化为a²＜8．（*）
∴x₁+x₂=-a，x₁x₂=

a2-4

2

．
∵

OA

•

OB

=-2，
∴x₁x₂+y₁y₂=-2，
∵y₁y₂=（x₁+a）（x₂+a）=x1x2+a(x1+x2)+a2，代入上式可得2x1x2+a(x1+x2)+a2=-2．
∴2×

a2-4

2

+a×(-a)+a2=-2．
化为a²=2满足（*）
解得a=±

2

．
故选：D．

点评：本题考查了直线与圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、数量积运算等基础知识与基本技能方法，属于中档题．