Question

19．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），当x∈[0，1）时，f（x）=-x²+x，设f（x）在[n-1，n）上的最大值为${a_n}（{n∈{N^*}}）$，则a₄=（　　）

• A． 2
• B． 1
• C． $\frac{1}{16}$
• D． $\frac{1}{32}$

Answer 1

分析 f（x+1）=2f（x），就是函数f（x）向右平移1个单位，最大值变为原来的2倍，当x∈[0，1）时，f（x）=-x²+x=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$．可得a₁=f（$\frac{1}{2}$），q=2，可得a_n，即可得出．

解答 解：∵f（x+1）=2f（x），就是函数f（x）向右平移1个单位，最大值变为原来的2倍，
当x∈[0，1）时，f（x）=-x²+x=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$．
a₁=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$，q=2，
∴a_n=$\frac{1}{4}$×2^n-1=2^n-3，
∴a₄=$\frac{1}{4}$×2^4-1=2，
故选：A．

点评 本题考查了二次函数的单调性、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．