Question

已知函数

（Ⅰ）若，试确定函数的单调区间；

（Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；

（Ⅲ）设函数，求证：．

 

Answer 1

【答案】

（1）增区间是，减区间是

（2）

（3）构造函数，

，

则放缩法得到证明。

【解析】

试题分析：解：（Ⅰ）由得，所以．

由得，故的单调递增区间是，

由得，故的单调递减区间是．

（Ⅱ）由可知是偶函数．

于是对任意成立等价于对任意成立．

由得．

①当时，．

此时在上单调递增．故，符合题意．

②当时，．

当变化时的变化情况如下表：

	单调递减	极小值	单调递增

由此可得，在上，．

依题意，，又．

综合①，②得，实数的取值范围是．

（Ⅲ），

，

，

…….

由此得，

故．

考点：导数的运用

点评：解决的关键是对于函数单调性的判定以及运用函数的极值来得到参数的 范围，属于中档题。