Question

已知如下两个命题：p：函数f(x)=

2x-3

kx2+4kx+5

的定义域为R；q：关于x的不等式|x+1|-|x+2|＜k恒成立．
若命题“p或q”与命题“p且q”一真一假，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：对于命题p为真时，要使f（x）的定义域为R，则分k=0和k≠0两种情况考虑，从而得k的范围，对于命题q可以先利用几何意义求出|x+1|-|x+2|的最大值，从而求得命题q为真时k的范围，再综合命题一真一假，求出实数k的取值范围．

解答：解：若命题p为真，则有k=0或

k≠0 △=16k2-20k＜0

，解得0≤k＜

5

4

若命题q为真，∵|x+1|-|x+2|的最大值为1，∴k＞1
因命题“p或q”与命题“p且q”一真一假，所以必有命题“p或q”为真，
命题“p且q”为假，即命题p，命题q一真一假，
故当命题p为真，命题q为假时，有0≤k≤1，
当命题p为假，命题q为真时，有k≥

5

4

，
综上可得，实数k的取值范围为[0，1]∪[

5

4

，+∞)．

点评：此题考查命题的真假判断等，其中涉及到恒成立问题、函数定义域等知识，在解题过程中往往对于恒成立问题一般都是转化为求某函数的最值，对于二次项的系数中含参数时，都要对参数进行分类讨论．