【题目】如图1,在矩形ABCD中, ,点
分别在边
上,且
,
交
于点
.现将
沿
折起,使得平面
平面
,得到图2.
(Ⅰ)在图2中,求证: ;
(Ⅱ)若点是线段
上的一动点,问点
在什么位置时,二面角
的余弦值为
.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).
【解析】试题分析:(1)先证明 ,再证明
,证明
平面
,从而可得
;
(2)建立直角坐标系,设,求出平面
、平面
的一个法向量,利用向量的夹角公式,结合二面角
的余弦值为
,即可得出结论.
试题解析:(Ⅰ)∵在矩形中,
,
,
∴, ∴
即
.
∴在图2中, ,
.
又∵平面平面
,平面
平面
,
∴平面
, ∴
,
依题意, ∥
且
,∴四边形
为平行四边形.
∴∥
, ∴
, 又∵
,
∴平面
, 又∵
平面
, ∴
.
(Ⅱ)如图1,在中,
,
,
∵∥
,
,∴
.
如图,以点
为原点建立平面直角坐标系,则
,
,
,
,
∴,
,
,
∵,∴
平面
,
∴为平面
的法向量.
设,则
,
设为平面
的法向量,则
即
,可取
,
依题意,有,
整理得,即
,∴
,
∴当点在线段
的四等分点且
时,满足题意.
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【题目】如图,已知抛物线:
,过焦点
斜率大于零的直线
交抛物线于
、
两点,且与其准线交于点
.
(Ⅰ)若线段的长为
,求直线
的方程;
(Ⅱ)在上是否存在点
,使得对任意直线
,直线
,
,
的斜率始终成等差数列,若存在求点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】选修4-4;坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数).在以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标中,曲线
.
(Ⅰ)求直线的普通方程和曲线
的直角坐标方程.
(Ⅱ)求曲线上的点到直线
的距离的最大值.
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【题目】一台机器使用时间较长,但还可以使用.它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点,每小时生产有缺点零件的多少,随机器运转的速度而变化,如表为抽样试验结果:
转速x(转/秒) | 16 | 14 | 12 | 8 |
每小时生产有 缺点的零件数y(件) | 11 | 9 | 8 | 5 |
(1)用相关系数r对变量y与x进行相关性检验;
(2)如果y与x有线性相关关系,求线性回归方程;
(3)若实际生产中,允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个,那么,机器的运转速度应控制在什么范围内?(结果保留整数)
参考数据:,
,
.
参考公式:相关系数计算公式:,回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
,
.
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【题目】如图,在直角坐标系中,圆
与
轴负半轴交于点
,过点
的直线
,
分别与圆
交于
,
两点.
(Ⅰ)若,
,求
的面积;
(Ⅱ)若直线过点
,证明:
为定值,并求此定值.
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【题目】“微信运动”已成为当下热门的健身方式,小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”,他随机选取了其中的40人(男、女各20人),记录了他们某一天的走路步数,并将数据整理如下:
(1)若采用样本估计总体的方式,试估计小王的所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率;
(2)已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定“积极型”,否则为“懈怠型”,根据题意完成下面的列联表,并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关?
附:
,
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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