Question

如图，已知直线l与抛物线y=

1

4

x2相切于点P（2，1），且与x轴交于点A，O为坐标原点，定点B的坐标为（2，0）．
（1）若动点M满足

AB

•

BM

+

2

|

AM

|=0，求动点M的轨迹C的方程；
（2）若过点B的直线l'（斜率不等于零）与（1）中的轨迹C交于不同
的两点E、F（E在B、F之间），且

BE

=λ

BF

，试求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由y=

1

4

x2，知y′=

1

2

x，所以l的斜率为y'_x=2=1，从而得到直线l的方程为y=x-1，点A坐标为A（1，0），由此能求出动点M的轨迹C的方程．
（2）由题意，设l'的方程为y=k（x-2）（k≠0），由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

，得（2k²+1）x²-8k²x+8k²-2=0．由△＞0得0＜k2＜

1

2

．设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），再结合韦达定理进行求解．

解答：解：（1）∵y=

1

4

x2，∴y′=

1

2

x，
∴l的斜率为y'_x=2=1
∴直线l的方程为y=x-1
∴点A坐标为A（1，0）
设M（x、y），
则

AB

=(1，0)，

BM

=(x-2，y)，

AM

=(x-1，y)
由

AB

•

BM

+

2

|

AM

|=0得x-2+

2

•

(x-1)2+y2

=0
整理得

x2

2

+y2=1--------（6分）
（2）由题意，设l'的方程为y=k（x-2）（k≠0）
由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

得（2k²+1）x²-8k²x+8k²-2=0由△＞0得0＜k2＜

1

2

设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
则

x1+x2= 8k2 2k2+1 x1•x2= 8k2-2 2k2+1

①
∵

BE

=λ

BF

，
∴x₁-2=λ（x₂-2）②
且0＜λ＜1
由①知，(x1-2)+(x2-2)=

-4

2k2+1

③
(x1-2)(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4=

2

2k2+1

④
由②③④知：
∴

λ

(1+λ)2

=

2k2+1

8

即k2=

4λ

(1+λ)2

-

1

2

∵0＜k2＜

1

2

，
∴0＜

4λ

(1+λ)2

-

1

2

＜

1

2

解得  3-2

2

＜λ＜3+2

2

又0＜λ＜1
∴3-2

2

＜λ＜1--------------（14分）

点评：本题考查动点的轨迹的求解方法和求λ的取值范围．解题时要认真审题，注意抛物线性质的灵活运用和韦达定理的合理运用．