Question

12．在三棱锥A-BCD中，底面BCD为边长为2的正三角形，顶点A在底面BCD上的射影为△BCD的中心，若E为BC的中点，且直线AE与底面BCD所成角的正切值为2$\sqrt{2}$，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为（　　）

• A． 3π
• B． 4π
• C． 5π
• D． 6π

Answer 1

分析 先判断三棱锥为正四面体，构造正方体，由面上的对角线构成正四面体，故可得正方体的棱长，即可求出外接球的半径，从而可得三棱锥A-BCD外接球的表面积．

解答 解：∵定点A在底面BCD上的射影为三角形BCD的中心，
而且底面BCD是正三角形，
∴三棱锥A-BCD是正三棱锥，∴AB=AC=AD，
令底面三角形BCD的重心（即中心）为P，
∵底面BCD为边长为2的正三角形，DE是BC边上的高，
∴DE=$\sqrt{3}$，∴PE=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，DP=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
∵直线AE与底面BCD所成角的正切值为2$\sqrt{2}$，即$tan∠AEP=2\sqrt{2}$
∴AP=$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，
∵AD²=AP²+DP²（勾股定理），∴AD=2，于是AB=AC=AD=BC=CD=DB=2，
∴三棱锥为正四面体，构造正方体，由面上的对角线构成正四面体，故正方体的棱长为$\sqrt{2}$，
∴正方体的对角线长为$\sqrt{6}$，∴外接球的半径为$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
∴外接球的表面积=4πr²=6π．
故选：D．

点评 本题考查直线AE与底面BCD所成角，考查三棱锥A-BCD外接球的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．