Question

已知满足ax•f（x）=2bx+f（x），a≠0，f（1）=1且使f（x）=2x成立的实数x有且只有一个．
（1）求f（x）的表达式；
（2）数列{a_n}满足：，证明：{b_n}为等比数列．
（3）在（2）的条件下，若，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）=，知，由此能求出f（x）的表达式．
（2）由b_n+1=2b_n，能够证明{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列．
（3）由b_n=2ⁿ，知C_n=，所以C_2k+C_2k+1=＜．由此能够证明S_n＜．
解答：解：（1）∵f（x）=，
∴，
∴
（2）证明：∵，
∴，
b_n+1=2b_n，
∴{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列．
（3）∵b_n=2ⁿ，
∴C_n=
∴C_2k+C_2k+1=＜
∴n为奇数时，S_n=C₁+（C₂+C₃）+…+（C_n-1+C_n）＜1+
=1+=＜
n为偶数时，S_n＜S_n+1＜
综合以上，S_n＜
点评：本题考查函数与数列的综合应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．