Question

平行六面体ABCD—A₁B₁C₁D₁的各棱长都相等，且∠B₁C₁D₁=∠CC₁B₁=∠CC₁D₁=60°.

(1)求证：平面ACC₁A₁⊥平面BB₁D₁D；

(2)若AA₁=a，求C到平面A₁B₁C₁的距离.

Answer 1

(1)证明：作CO⊥平面A₁B₁C₁于O.?

∵∠CC₁B₁=∠CC₁D,?

∴O在∠B₁C₁D₁的角平分线上.?

又∵A₁B₁C₁D₁是菱形，∴D₁B₁⊥A₁C₁,A₁C₁平分∠B₁C₁D₁.?

∴O∈A₁C₁，即A₁C₁是CC₁在平面A₁B₁C₁D₁内的射影.?

因此，D₁B₁⊥CC₁，∴B₁D₁⊥平面A₁C₁CA.?

∴平面BB₁D₁D⊥平面A₁C₁CA.?

(2)解析：作OM⊥B₁C₁于M，连结CM，在Rt△CC₁M中，CC₁=a,∠CC₁M=60°,∴C₁M=a.?

故C到平面A₁B₁C₁的距离为a.